线性代数追加50求解第一问

线性代数追加50求解第一问为啥ab-1≠0，A就可逆为啥可逆就＝2呢

2025-05-09 19:16:38

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回答1：

因B是非零矩阵，则至少有1列为非零向量，否则B就是零矩阵。
对于方阵B，方程组 Bx=0, 如果 |B|≠0，则有唯一解，即零解，
要有非零解，只有|B|=0。

一般情况，方程组 Ax=0, 有n个未知量，有非零解的充要条件是 r(A)对于方阵，此条件等价于 |A|=0，

这些所有线性代数教材上都有。

回答2：

有一个定理：当A可逆时，r(AB)=r(B)。因为A可逆，则A是初等阵的乘积，A=P1P2...Ps，则AB=P1P2...PsB，即B可经过初等变换化为AB，而初等变换不改变矩阵的秩，所以r(AB)=r(B)。
本题若A是可逆矩阵，则r(AB)=r(B)=2。而A可逆<=>|A|≠0，其中|A|=ab-1。