已知x,y,z是实数,且x+y+z=5,xy+yz+zx=3,求z的取值范围

∵x+y+z=5，∴(x+y+z)²=25，即x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=25
又∵xy+yz+zx=3，∴x²+y²+z²=19，
(5-y-z)²+y²+z²=19
y²+z²-5y-5z+yz+3=0
y²+(z-5)y+z²-5z+3=0
∵y是实数，∴△=(z-5)²-4(z²-5z+3)≥0
即3z²-10z-13≤0
∴-1≤z≤13/3

解：∵x+y+z=5,
∴x+y=5-z
∵xy+yz+zx=3,
∴xy+(x+y)z=xy+(5-z)z=3
xy=z²-5z+3
∴x、y是m²-(5-z)m+(z²-5z+3)=0的两根
∵⊿=（5-z)²-4(z²-5z+3)=-3z²+10z+13≥0
∴-1≤z≤13/3

由X+Y+Z＝5
得
Y＝5-X-Z

将此代入XY+YZ+ZX＝3

得
X（2-X-Z）+（5-X-Z）Z+ZX＝3

整理得
X＾2+（Z-5）X+（Z＾2 -5Z+3）＝0

因为X是实数，那么
关于X的一元二次方程的
判别式（Z-5）＾2 -4（Z＾2 -5Z+3）≥0

解这个一元二次不等式，
得
-1≤ Z≤ 13/3

将x=5-y-z代入xy+yz+zx=3,
整理成关于y的一元二次方程y�0�5+(z-5)y+z�0�5-5z+3=0
由于y为实数，所以△≥0.
即(z-5)�0�5-4(z�0�5-5z+3)≥0
可得(3z-13)(z+1)≤0
得-1≤z≤13/3