AB是圆O的直径，BC切圆O于B，AC交圆O于P，E是BC边上的中点，联结PE， 求证1.PE切圆O于P

首先说明 题目第二问打错了吧 是交AE于N

1. 连接OE，OP
因为 OP＝OA（圆半径）
所以 在三角形APO中 角APO＝角PAO（等腰三角形定义）
因为 点E是CB中点 点O是直径AB中点（已知）
所以 在三角形ABC中 EO是 中位线平行于 AC（三角形中位线定义）
所有 角APO＝角EOP（内错角定义） 角PAO＝角BOE（同位角定义）
所有 角APO＝角EOP＝角PAO＝角BOE（角APO＝角PAO已证）

在 三角形BOE 和 三角形POE中
OB＝OP （半径）
角OBE＝角POE
OE＝OE
所以三角形全等
有PE＝BE
因为EB于CB共线，EB切于圆
所以EP切于圆（圆外一点到同一个圆的两个切线距离相等反定义）

2.
因为 E是CB中点
所以 AE是三角形CB底上的中线
因为 PM垂直于AB
所以 在 三角形ABC 和 三角形AMP中
AB：AM＝AC：AP
角BAC＝角MAP
所以 三角形ABC 相似于 三角形AMP

又因为 AB于AM共线 AP于AC共线
所以 直线AE于三角形AMP的MP底上的中线共线 即 AN是三角形AMP中线
所以 PN＝NM

仅供参考

第二问：PM⊥AB CB⊥AB
AN/AE=PN/CE(相似三角形)
AN/AE=MN/BE(相似三角形)
E是BC边上的中点，所以CE=BE
所以PN=MN