解答：（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1=BB1，点N是B1C的中点，
∴BN⊥B1C，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BB1∩BC=B
∴AB⊥平面B1BCC1，
∵B1C?平面B1BCC1
∴B1C⊥AB，即B1C⊥GB，
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B1C⊥平面BNG．
（Ⅱ）证明：连接AB1，取AB1的中点H，连接HG、HM、GC，
则HG为△AB1B的中位线
∴GH∥BB1，GH=BB1，
∵由已知条件，B1BCC1为正方形
∴CC1∥BB1，CC1=BB1
∵M为CC1的中点，
∴CM=CC1，∴MC∥GH，且MC=GH，
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM，
又∵GC?平面AB1M，HM?平面AB1M，
∴CG∥平面AB1M．
（Ⅲ）解：以B为原点，BB1为x轴，BC为y轴，BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知M（1，2，0），A（0，0，2），
B1（2，0，0），B（0，0，0），
＝(2，0，?2)，=（1，2，-2），
设平面AB1M的法向量=（x，y，z），
则，∴，
取x=1，得=（1，，1），
又平面AB1B的法向量=（0，1，0），
∴cos＜，＞==．
∴二面角M-AB1-B的余弦值为．
