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已知函数 f(x)=lnx，g(x)= a x (a＞0) ，设F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的单调区间；（2
已知函数 f(x)=lnx，g(x)= a x (a＞0) ，设F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的单调区间；（2
2025-05-09 17:14:20
推荐回答（1个）
回答1：
（1）
F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
a
x
(x＞0)
，
F
′
(x)=
1
x
-
a
x
2
=
x-a
x
2
(x＞0)
．（2分）
因为a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2）
F
′
(x)=
x-a
x
2
(0＜x≤3)，k=
F
′
(
x
0
)=
x
0
-a
x
0
2
≤
1
2
(0＜
x
0
≤3)
恒成立，（7分）
即
a≥(-
1
2
x
0
2
+
x
0
)
max
，当x
0
=1时取得最大值
1
2
．所以，
a≥
1
2
，所以
a
min
=
1
2
．（10分）
（3）因为x≥e，所以
xlnx≥ax-a?a≤
xlnx
x-1
，令
h(x)=
xlnx
x-1
，x∈[e，+∞)
，则
h
′
(x)=
x-lnx-1
(x-1)
2
．（12分）
因为当x≥e时，
(x-lnx-1
)
′
=1-
1
x
＞0
，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以
h(x
)
min
=h(e)=
e
e-1
，所以0＜
a≤
e
e-1
．（16分）
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